Cet article va explorer quel est le base orthonormée d'une matrice et comment les trouver dans MATLAB en utilisant le ortho() fonction.
Quelles sont les bases orthonormales d'une matrice
En algèbre linéaire, le base orthonormée d'un espace vectoriel V ayant une dimension finie sont la base ayant vecteurs orthonormés où le vecteurs orthonormés sont les vecteurs unitaires orthogonaux les uns aux autres, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul.
Considérons les vecteurs à deux unités x et y, ils seront orthogonaux entre eux si 'x.y=0' . Ces deux vecteurs sont aussi appelés vecteurs orthonormés .
Pourquoi devons-nous calculer la base orthonormale
Une base orthonormée est utile pour trouver la projection d'un vecteur sur un autre vecteur ou pour trouver la distance entre les deux vecteurs. Nous pouvons également utiliser un base orthonormée pour réduire l'erreur d'arrondi dans nos simulations et la seule raison en est que les vecteurs dans une base orthonormée sont indépendants les uns des autres, donc une erreur dans un vecteur ne peut pas se propager aux autres vecteurs. De plus, trouver des coordonnées et effectuer une transformation linéaire est beaucoup plus facile si notre base est orthonormée.
Comment trouver la base orthonormale d'une matrice dans MATLAB ?
Dans MATLAB, on peut trouver le base orthonormée en utilisant le ortho() fonction chargée de déterminer le base orthonormée d'une matrice donnée. Cette fonction accepte une matrice comme paramètre obligatoire et fournit une matrice comme sortie contenant le base orthonormée de la matrice d’entrée donnée.
Syntaxe
Le ortho() La fonction peut être implémentée dans MATLAB via les syntaxes suivantes :
Q = ortho ( A, tol )
Ici,
- La fonction Q = ortho(A) est chargé de déterminer le base orthonormée pour la plage de A où les colonnes de la matrice de sortie Q représentent le base orthonormée de la matrice A et ils spamment la plage de la matrice A. De plus, le rang de A est égal au nombre de colonnes de Q.
- La fonction Q = ortho(A,tol) est chargé de déterminer le base orthonormée pour la plage de A spécifiant la tolérance. Les valeurs singulières de la matrice d'entrée A, qui sont inférieures à la tolérance, sont traitées comme nulles en affectant le nombre de colonnes de Q.
Exemple 1 : Comment trouver la base orthonormale d'une matrice de rang complet dans MATLAB ?
Ce code MATLAB détermine le base orthonormée de la matrice carrée A donnée de taille n = 3 en utilisant le ortho() fonction. Ce code trouve également le rang d'une matrice A en utilisant la rang() fonction pour vérifier que la matrice d’entrée est de rang complet.
UNE = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rang ( UN )
Q = ortho ( UN )
Exemple 2 : Comment calculer la base orthonormale d'une matrice de rang déficient dans MATLAB ?
Dans cet exemple, nous utilisons le ortho() fonction pour trouver le base orthonormée de la matrice A de rang déficient donnée. La matrice A est déficiente en rang car rang(K)
r = rang ( UN )
Q = ortho ( UN )
Exemple 3 : Comment trouver la base orthonormale d'une matrice de rang complet en spécifiant la tolérance dans MATLAB ?
L'exemple donné calcule le base orthonormée de la matrice carrée de rang complet donnée A ayant la taille n=3 en utilisant le ortho() fonction avec tolérance par défaut. Comme A est une matrice de rang complet, la taille de A et Q (base orthogonale) est le même, qui est 3×3 dans ce cas. L'exemple calcule ensuite le base orthonormée de A en précisant la valeur de tolérance 0,5 pour considérer les valeurs de A inférieures à 0,5 comme des valeurs singulières. Il y a trois valeurs singulières dans A, donc A a deux vecteurs colonnes orthonormés contenus par le Qtol matrice.
A = Rand ( 3 ) ;r = rang ( UN )
Q = ortho ( UN )
Q_tol = ortho ( UN, 0,5 )
Conclusion
Trouver le base orthonormée d'un espace vectoriel est un concept important de l'algèbre linéaire qui constitue un problème mathématique complexe. Cependant, ce problème peut être résolu facilement et efficacement en utilisant la solution intégrée de MATLAB. ortho() fonction. Cet article a présenté l'implémentation de cette fonction à l'aide de différentes syntaxes et exemples.